INGEGNERIA DEI PLASMI E MAGNETOFLUIDODINAMICA - EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (MHD)

Ingegneria Energetica e Nucleare

· EQUAZIONI DELLA MAGNETOFLUIDODINAMICA (mhd)

· Valerio D'Alessandro

· INTRODUZIONE

· Problema Maxwelliano

· Problema Euleriano

· Ipotesi di Alfven

· EQUAZIONE DI INTERAZIONE u-H

· Problema Magnetoidrodinamico

INTRODUZIONE

La Magnetofluidodinamica (MHD) si prefigge l’obiettivo di descrivere la dinamica fluidi elettricamente conduttori chimicamente omogenei ed inerti nella loro interazione con campi elettromagnetici esterni e l’intera teoria è sviluppata nell’ambito della teoria dei continui.

Il problema Fluidodinamico (o Euleriano) ed il problema Elettromagnetico (o Maxwelliano) del mezzo risultano nell’ambito della teoria della Magnetofluidodinamica accoppiati dando origine ad un affascinante e quanto roccioso sistema di equazioni a derivate parziali ibrido di equazioni lineari e non lineari.

La formulazione delle equazioni della dinamica di un fluido newtoniano non micropolare omogeneo monofase rimangono inalterate nell’ambito della trattazione di seguito proposta mentre per quanto riguarda la parte elettromagnetica del problema è conveniente considerare quanto segue.

Le variazioni d’intensità del campo elettrico E e del campo magnetico H nel tempo sono determinate dalla loro distribuzione istantanea e dal movimento delle cariche negative rispetto alle positive, indipendentemente da come tale variazione temporale e tale moto relativo sono prodotti, perciò le equazioni di Maxwell non sono formalmente alterate dal moto del fluido. La parte elettromagnetica del problema del moto di un fluido elettricamente conduttore e della sua interazione con eventuali campi elettromagnetici esterni è trattabile totalmente con le equazioni di Maxwell scritte in presenza di un mezzo dielettrico e nelle ipotesi di materiale diamagnetico o paramagnetico.

Problema Maxwelliano

La parte elettromagnetica del problema, come già argomentato, è posta matematicamente con le classiche equazioni di Maxwell:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

A tali relazioni è poi utile aggiungere la legge di Ohm generalizzata la quale, ovviamente, rimane valida nell’ambito questa teoria:

(8)

dove il termine r_eu è la densità di corrente di convezione.

Problema Euleriano

Le equazioni che descrivono il problema fluidodinamico (o Euleriano) sono, nell’ambito della teoria qui presentata, esattamente quelle della Fluidodinamica Classica opportunamente munite dei termini relativi alle forze di massa maxwelliane e all’effetto Joule. Se F è la forza di natura non elettromagnetica, riferita all’unità di massa, agente sul fluido si ha:

(9)

dove F_L è la forza di Lorentz per unità di volume:

(10)

per cui sostituendo la (10) nella (9) si ottiene banalmente:

(11)

L’equazione dell’energia per un fluido newtoniano non micropolare classico, invece, assume la forma:

(12)

la quale può essere scritta nell’ipotesi di gas perfetto come segue:

(13)

La (13), però, in Magnetofluidodinamica va corretta in virtù dell’effetto Joule: infatti, si deve tener conto che il campo elettrico può spostare le cariche elettriche libere nel fluido spendendo una potenza meccanica (si tenga presente che la forza di Lorentz, e quindi il campo elettrico ad essa associato, non può compiere lavoro sulle cariche elettriche) espressa dalla seguente relazione:

(14)

la quale entra di diritto nell’equazione dell’energia (13):

(15)

Non è affatto difficile ricavare l’equazione di produzione dell’entropia in presenza di effetto Joule e da tale procedimento, qui omesso (si veda l’articolo “Reologia dei Fluidi Newtoniani” in ), si conclude facilmente che se l’effetto Joule è presente allora produce entropia. A completamento del problema Euleriano è necessario tener presente che il medesimo si completa aggiungendo:

L’equazione di continuità della massa:

L’equazione di stato dei gas perfetti (è che il modello termodinamico che si è assunto già nell’equazione dell’energia);

Una relazione m=m(T).

Le equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia, che costituiscono il corpo matematico del problema euleriano della teoria della Magnetofluidodinamica, sono più complesse di quanto appaiono: sono non lineari, accoppiate e difficili da risolvere, è difficile, inoltre, provare con i metodi matematici esistenti l’esistenza di una soluzione unica per particolari condizioni al contorno e la dipendenza con continuità della soluzione dalle condizioni al contorno ed iniziali.

L’esperienza che di fatto mostra che le equazioni di Navier - Stokes descrivono il flusso di un fluido newtoniano accuratamente ed è solo in particolari casi – flussi completamente sviluppati in geometrie semplici – che è possibile ottenere una soluzione analitica delle equazioni di Navier – Stokes sia nell’ordinaria Fluidodinamica che nella Magnetofluidodinamica e questi flussi sono importanti per lo studio dei fondamenti di queste displicine ma sono del tutto irrilevanti dal punto di vista applicativo.

Le 7 equazioni del problema maxwelliano più le 7 del problema euleriano costituiscono la formulazione completa del problema magnetofluidodinamico a cui, ovviamente, vanno aggiunte opportune condizioni al contorno ed iniziali.

Il problema matematico che si è generato dall’analisi della fenomenologia fisica di interesse è, allo stato attuale dei risultati prodotti dall’Analisi Matematica, privo di soluzione ed è per tale motivo necessario introdurre, in determinate condizioni di flusso, delle semplificazioni nelle equazioni in quanto alcuni termini in esse presenti sono poco importanti o trascurabili rispetto ad altri e, nonostante ciò, è possibile che perfino le equazioni semplificate non ammettano soluzione analitica ed è quindi necessario introdurre metodi numerici.

Ipotesi di Alfven

L’impossibilità di poter risolvere il problema matematico alla base della Magnetofluidodinamica richiede, come già spiegato, di introdurre in opportune condizioni di flusso delle semplificazioni nelle equazioni valutando la trascurabilità o meno di alcuni termini in esse presenti rispetto ad altri e le ipotesi di Alfven si inquadrano pienamente in questa logica. Le ipotesi di Alfven sono le seguenti:

· In generale se non vi sono oscillazioni ad alta frequenza si ha:

In altre parole ciò equivale ad imporre la trascurabilità della corrente di spostamento nei problemi di Magnetofluidodinamica.

· La corrente di convezione è trascurabile;.

La prima ipotesi di Alfven è avvalorata dall’esperienza sperimentale; per quanto riguarda la seconda ipotesi si può dare una dimostrazione appropriata ed in tal proposito si deve tener presente che dalla legge di Ohm generalizzata si ottiene:

(16)

tendendo conto dell’equazione di continuità della carica elettrica si ottiene:

(17)

Introducendo nella (17) le equazioni (1) e (6) si ottiene:

(18)

la quale può essere riscritta senza troppi sforzi come:

(19)

La (19) presenta una soluzione del tipo:

(20)

dalla (20) è ovvio che si suppone che il movimento esiste da un istante di tempo abbastanza lontano dall’istante di tempo assunto come istante iniziale, allora è facile convincersi che il peso della corrente di convezione è del tutto trascurabile nelle equazioni.

EQUAZIONE DI INTERAZIONE u-H

L’equazione di interazione u-H si inquadra a pieno nella filosofia di ricerca della riduzione del numero di equazioni figuranti nel problema matematico della Magnetofluidodinamica, infatti tale l’equazione, come sarà meglio spiegato in seguito, costituisce l’unica equazione necessarie e sufficienti alla formulazione matematica del problema maxwelliano nelle ipotesi fluido incomprimibile e nella validità delle ipotesi di comportamento reologico, elettrico e magnetico precedentemente formulate.

A partire dalla (4) si può scrivere:

(21)

Sostituendo la (8) in (21) si ottiene:

(22)

Tenendo conto delle equazioni costitutive maxwelliane (5) e (6) e della (3) si ha:

la quale può essere ulteriormente riscritta come segue in virtù della (2), (3) e(5):

(23)

che risistemata porta a scrivere:

(24)

Le ipotesi di Alfven prima discusse permettono di riscrivere la (24), se h=1/sm è la diffusività magnetica, nel seguente modo:

(25)

La quale è l’equazione u-H e quantifica l’interazione fra il campo cinetico ed il campo magnetico. La (25), essendo Ñ×u=0 e Ñ×H=0, può essere riscritta come:

(26)

cioè:

(27)

nella quale si è indicato con:

l’operatore di derivata sostanziale.

Problema Magnetoidrodinamico

Le considerazioni fin’ora fatte permettono l’individuazione di un set di equazioni sufficienti alla soluzione del problema dinamico di un fluido newtoniano incomprimibile classico elettricamente conduttore immerso in un campo magnetico e l’interazione del campo elettromagnetico con il fluido stesso (l’ipotesi di incomprimibilità porta a parlare di Magnetoidrodinamica piuttosto che di Magnetofluidodinamica, si tratta comunque di un semplice dettaglio).

Le famose semplificazioni attuabili nelle equazioni vista la trascurabilità di alcuni termini rispetto ad altri, di si è tanto parlato in precedenza, vengono realizzate in ragione delle seguenti proprietà del fluido:

Fluido Incomprimibile;

Fluido Viscoso;

Fluido a Conduttività Elettrica Uniforme;

Nell’equazione di Navier-Stokes bisogna inserire l’ipotesi di incomprimibilità e trascurare l’effetto delle cariche elettriche libere (per le ipotesi di Alfven) ottenendo:

(28)