INGEGNERIA DEI PLASMI E MAGNETOFLUIDODINAMICA

Ingegneria Energetica e Nucleare

· ONDE MAGNETOIDRODINAMICHE

· INTRODUZIONE

· Onde di Alfven

· Onde di Alfven smorzate

· Onde MHD in un dominio cilindrico infinito: il caso delle Oscillazioni Torsionali

INTRODUZIONE

Uno dei problemi più importanti della MHD è quello che riguarda la formazione e la propagazione di onde dovute a piccole perturbazioni. I moti ondosi nei fluidi elettricamente conduttori presentano lineamenti caratteristici assai interessanti e trovano applicazione in molti problemi geofisici ed astrofisici come, ad esempio, la teoria delle macchie solari. Nel seguito viene fatta una breve rassegna di casi piuttosto semplici.

Onde di Alfven

Le onde MHD più semplici sono quelle in cui la velocità di fase dell’onda è parallela alle linee di forza magnetica e la velocità della particella è perpendicolare alle linee di forza magnetica.

Nell’intenzione di iniziare a studiare queste onde facciamo l’ipotesi di fluido ideale (fluido non viscoso, incomprimibile e ad alta conduttività elettrica) ed ipotizziamo l’assenza di forze di massa non elettromagnetiche.

Supponiamo che il fluido sia immerso in un campo magnetico H₀ uniforme e costante. Sia h il campo magnetico indotto dovuto alla perturbazione, per cui il campo magnetico totale risulta essere: H = H_o + h.

Nell’ambito delle ipotesi introdotte è sufficiente utilizzare l’equazione di Eulero decurtata delle forze non elettromagnetiche e comprensiva dei termini elettromagnetici:

(1)

L’espressione ÑxH può essere riscritta come: ÑxH = ÑxH₀ + Ñxh cioè si ha:

(2)

essendo H₀ un campo vettoriale uniforme. Consideriamo ora una terna ortogonale destra S:={(O;x,y,z)} il cui l’asse O_z sia nella direzione e nel verso del campo magnetico uniforme H₀. Facciamo ora l’ipotesi di piccole oscillazioni per la quale possiamo trascurare i quadrati ed i prodotti delle quantità piccole h ed u. Riscriviamo la (1) come:

La quale in virtù della:

e dell’incomprimibilità del fluido può essere riscritta nel seguente modo:

(3)

Il termine convettivo al primo membro della (3) è trascurabile per l’ipotesi delle piccole oscillazioni. Il termine magnetico della (3) può essere invece riscritto come:

(4)

Il primo termine al secondo membro della (4) diventa:

cioè:

(5)

Il primo ed il terzo termine al secondo membro della (5) sono nulli vista l’uniformità di H₀ e l’ultimo termine al secondo membro è trascurabile vista l’ipotesi di piccole oscillazioni, perciò:

(6)

Il secondo termine al secondo membro della (4) può essere a sua volta essere riscritto come:

Applicando la proprietà distributiva prodotto scalare rispetto alla somma vettoriale si ottiene:

(7)

Il primo termine al secondo membro è trascurabile poiché H₀ è uniforme, il secondo è nullo per l’ipotesi di piccole oscillazioni per cui:

(8)

Sostituendo (4), (6) e (8) nella (3) privata del termine convettivo si ha:

(9)

essendo H₀=H₀e_k la (9) diviene:

(10)

essendo entrambi i campi vettoriali h e u solenoidali si può facilmente concludere che

(11,a)

per la (11,a) il campo scalare f=p+mH₀×h è armonico; se ora supponiamo che il fluido si estenda fino all’infinito in tutte le possibili direzioni poiché la soluzione della (11,a) deve essere regolare in tutti i punti dello spazio allora l’unica soluzione fisicamente plausbile per la (11,a) è:

(11,b)

sostituendo la (11,b) in (10) si ottiene:

(11,c)

Il problema dinamico in esame è descritto anche dall’equazione di interazione del campo cinetico con il campo magnetico (vedi “Equazioni della Magnetofluidodinamica” www.ingegnerianucleare.net), la quale per effetto dell’ipotesi di conduttività elettrica molto elevata diventa:

(12)

applicando la decomposizione del campo magnetico H=H₀+h la (12) diventa:

(13)

Il secondo termine all’interno della parentesi nella (13) è trascurabile rispetto al primo per l’ipotesi di piccole oscillazioni, per cui la (13) diviene, viste anche le proprietà di H₀:

(14)

Si effettua ora il calcolo del termine al secondo membro della (14) partendo dal fatto che: uxH₀=nH₀e₁-uH₀e₂ per cui:

(15)

effettuando il calcolo del determinante della matrice al secondo membro della (15) si ottiene:

(16)

essendo H₀ uniforme la (16) si può scrivere:

(17)

per l’equazione di continuità si ha che:

la quale sostituita in (17) permette di scrivere:

(18)

cioè:

(19)

sostituendo la (19) in (14) si ha:

(20)

eliminando dalla (11,c) o dalla (20), facendo uso del teorema di Schwarz, la velocità u o il campo magnetico h si trova che tali campi vettoriali devono soddisfare la medesima equazione differenziale:

(21)

dove:

è la velocità di fase delle onde di Alfven. Bisogna tener presente dalla meccanica delle onde che la (21) è l’equazione di D’Alembert è tutti i campi vettoriali soluzione della (21) assumono comportamento ondulatorio ovvero la forma la forma matematica:

(22)

per cui è banale concludere che sotto le ipotesi del problema posto il campo di velocità ed il campo magnetico sono delle onde progressive monodimensionali. Dovendo essere Ñ×h=0 allora si avrà:

(23)

ed avendo a che fare con un fluido di estensione infinita si avrà Ñ×h₀=0 ed essendo (u₀,h₀)= (u₀,h₀)(x,y) la (23) diventa:

(24)

la (24), quindi, è soddisfatta se e solo se:

(25)

lo stesso procedimento può essere ripetuto per il campo velocità ottenendo:

(26)

La (25) e la (26) permettono di concludere che i vettori (u₀,h₀) e quindi anche u ed h sono ortogonali alla direzione di propagazione del fronte d’onda.

Onde di Alfven smorzate

L’oggetto di analisi di questo paragrafo sono le onde magnetoidrodinamiche di piccola ampiezza in un fluido incomprimibile viscoso e a conduttività elettrica finita.

Nelle ipotesi appena poste le equazioni necessarie alla soluzione del campo moto sono le equazioni del problema magnetoidrodinamico (vedi “Equazioni della Magnetofluidodinamica” www.ingegnerianucleare.net). Le equazioni differenziali di interesse, essendo sempre valida l’ipotesi delle piccole oscillazioni, vengono linearizzate secondo lo stesso procedimento del paragrafo precedente tenendo però conto dei termini dissipativi ed ottenendo:

(27)

(28)

dove, come prima, h è il campo magnetico variabile, u è la velocità del fluido, ν è la viscosità cinematica e σ è la conduttività elettrica. Prendendo, come già fatto, l’asse z nella direzione di H₀la (27) e la (28) assumono la forma:

(29)

(30)

per la linearità dell’operatore di Laplace e di quello di derivata la (30) si può riscrivere come segue:

(31)

Prendendo la divergenza di entrambi i membri della (31) ed essendo solenoidali sia h che u si deduce che se il fluido è illimitato si deve avere p+mH₀×h=cost, per cui la (29) diventa:

(32)

cioè:

(33)

applichiamo l’operatore (¶/¶t-hÑ²) ad entrambi i membri della (33) e dividendo membro a membro per mH₀/r si ottiene:

(34)

eguagliando (31) e (34) si ottiene:

(35)

lo stesso procedimento appena sviluppato per u si estendere con considerazioni analoghe ad h, Ñxu e Ñxh allora, indicando con A il vettore generico fra quella appena citati, si può scrivere:

(36)

con

velocità di Alfven. Il comportamento ondulatorio descritto dalla (36) è tipicamente detto di Diffusione-Dissipazione. Si può facilmente notare che nelle ipotesi di viscosità cinematica nulla e di conduttività elettrica infinita si ritorna alla stessa forma matematica discussa nel precedente paragrafo di questo capitolo.

La condizione msn<<1 equivale a porre 1/sm>>n cioè che l’effetto della conduttività elettrica sia molto maggiore di quello della viscosità fluidodinamica (tale condizione è tipica dei metalli liquidi e dell’interno delle stelle) quindi la (36) diventa:

(37)

Si mostrerà ora che in un liquido non viscoso a conducibilità elettrica finita si possono eccitare onde smorzate di ampiezza finita. Si facciano le seguenti ipotesi:

e si risistemi leggermente la (37):

(38)

Viste le ipotesi fatte si ha:

per cui la (38) diventa:

(39)

consideriamo delle onde armoniche monocromatiche monodimensionali di pulsazione ω scritte in notazione complessa:

(40)

Sostituendo la (40) in (39) tenendo conto che

si ha:

(41)

Considerando una perturbazione di lunghezza d’onda assegnata si ottiene la relazione di dispersione:

(42)

se è soddisfatta la condizione

allora si hanno delle onde smorzate monocromatiche monodimensionali di ampiezza finita che si propagano nella direzione dell’asse z indifferentemente in un verso o nell’altro. Ponendo w=b+ja con

e sostituendo in (40) si ottiene:

(43)

dove

è il fattore di smorzamento.

Onde MHD in un dominio cilindrico infinito: il caso delle Oscillazioni Torsionali

Il problema che ci si propone di studiare in questo paragrafo riguarda le oscillazioni torsionali che si possono instaurare in un dominio assialsimmetrico di estensione infinita nelle ipotesi di fluido incomprimibile, elettricamente conduttore, totalmente bagnante il dominio in esame ed immerso in un campo magnetico esterno uniforme e costante e diretto secondo l’asse del dominio. Nella disamina di questo problema si considererà, contrariamente a quanto si fa in generale in Magnetoidrodinamica, anche la corrente di spostamento per cui le equazioni necessarie alla soluzione del problema Elettromagnetico sono:

(44)

(45)

(46)

(47)

A partire dalla (46) si ottiene:

(48)

dove si è tenuto conto di (44), (45) e (47). Nel parte idrodinamica del problema, invece, in virtù della seconda ipotesi di Alfven (vedi “Equazioni della Magnetofluidodinamica” www.ingegnerianuclare.net) trascuriamo l’effetto della corrente di spostamento perciò:

(49)

la quale può essere riscritta come segue:

(50)

le relazioni (48), (50) e la condizione di incomprimibilità di un fluido costituiscono un sistema di equazioni sufficienti alla soluzione del problema posto in apertura di paragrafo.

Si può ora decomporre il campo magnetico, come già fatto più volte in questa trattazione, nel seguente modo: H=H₀+h ed, inoltre, introducendo l’ipotesi di piccole oscillazioni la (50) diviene:

(51)

dove f è il potenziale delle forze non elettromagnetiche; lo stesso ordine di idee porta a scrivere, nelle ipotesi prima introdotte, la (48) come:

(52)

prendendo la divergenza di entrambi i membri della (51) si ottiene:

(53)

Nell’ipotesi di simmetria assiale deve necessariamente essere: h=he_q, u=ue_q e ¶/¶q(u,h)=0, per cui il sistema di equazioni vettoriali (51) e (52) diviene un sistema di due equazioni scalari:

(54)

(55)

Nella (54) e nella (55) non compare il termine associato a Ñ(p/r+mH₀×h-f) essendo il moto assialsimmetrico. Le equazioni Ñ×h=0 e Ñ×u=0 sono, inoltre, identicamente soddisfatte; facciamo ora l’ipotesi di onde sinusoidali:

(56)

(57)

che sostituite in (54) e (55) danno:

(58)

(59)

Le soluzioni delle (58) e (59) sono ovviamente vincolate a possedere rappresentatività fisica per cui è necessario che le soluzioni siano regolari in corrispondenza di r=0 e che, essendo il campo magnetico esterno uniforme, la variazione di h si annulli in corrispondenza della frontiera del dominio cioè:

Tipiche soluzioni delle (58) e (59) soddisfacenti le condizioni di cui si è appena discusso sono:

(60)

dove J₁ è la funzione di Bessel di prima specie e di primo ordine ed a_s è l’s.mo zero di J₁(x). Sostituendo in (58) e (59) le soluzioni (60) si ottiene:

(61)

(62)

eliminando le costanti A_s e B_s da (61) e (62) si ottiene:

(63)

dove, come al solito

è la velocità di Alfven. Riordinando ora la (63) rispetto a k si ha:

(64)

Per ogni zero dalla funzione di Bessel di primo ordine e di prima specie la (64) fornisce degli appropriati valori del numero d’onda. A ciascuno di tali valori corrisponde un modo normale di oscillazione k_s che si propaga nella direzione del campo magnetico uniforme H₀. Essendo i numeri d’onda k_s dei numeri complessi le onde saranno smorzate.

Nell’ipotesi di fluido non viscoso e nell’ipotesi di trascurabilità della corrente di spostamento (e=0) la (64) porge:

(65)

per cui la velocità di fase del modo s.mo (U_s=w/k_s) è:

(66)