INGEGNERIA DEI PLASMI E MAGNETOFLUIDODINAMICA

Ingegneria Energetica e Nucleare

· ONDE MAGNETOIDRODINAMICHE

· INTRODUZIONE

· Onde di Alfven

· Onde di Alfven smorzate

· Onde MHD in un dominio cilindrico infinito: il caso delle Oscillazioni Torsionali

INTRODUZIONE

Uno dei problemi più importanti della MHD è quello che riguarda la formazione e la propagazione di onde dovute a piccole perturbazioni. I moti ondosi nei fluidi elettricamente conduttori presentano lineamenti caratteristici assai interessanti e trovano applicazione in molti problemi geofisici ed astrofisici come, ad esempio, la teoria delle macchie solari. Nel seguito viene fatta una breve rassegna di casi piuttosto semplici.

Onde di Alfven

Le onde MHD più semplici sono quelle in cui la velocità di fase dell’onda è parallela alle linee di forza magnetica e la velocità della particella è perpendicolare alle linee di forza magnetica.

Nell’intenzione di iniziare a studiare queste onde facciamo l’ipotesi di fluido ideale (fluido non viscoso, incomprimibile e ad alta conduttività elettrica) ed ipotizziamo l’assenza di forze di massa non elettromagnetiche.

Supponiamo che il fluido sia immerso in un campo magnetico H₀ uniforme e costante. Sia h il campo magnetico indotto dovuto alla perturbazione, per cui il campo magnetico totale risulta essere: H = H_o + h.

Nell’ambito delle ipotesi introdotte è sufficiente utilizzare l’equazione di Eulero decurtata delle forze non elettromagnetiche e comprensiva dei termini elettromagnetici:

(1)

L’espressione ÑxH può essere riscritta come: ÑxH = ÑxH₀ + Ñxh cioè si ha:

(2)

essendo H₀ un campo vettoriale uniforme. Consideriamo ora una terna ortogonale destra S:={(O;x,y,z)} il cui l’asse O_z sia nella direzione e nel verso del campo magnetico uniforme H₀. Facciamo ora l’ipotesi di piccole oscillazioni per la quale possiamo trascurare i quadrati ed i prodotti delle quantità piccole h ed u. Riscriviamo la (1) come:

La quale in virtù della:

e dell’incomprimibilità del fluido può essere riscritta nel seguente modo:

(3)

Il termine convettivo al primo membro della (3) è trascurabile per l’ipotesi delle piccole oscillazioni. Il termine magnetico della (3) può essere invece riscritto come:

(4)

Il primo termine al secondo membro della (4) diventa:

cioè:

(5)

Il primo ed il terzo termine al secondo membro della (5) sono nulli vista l’uniformità di H₀ e l’ultimo termine al secondo membro è trascurabile vista l’ipotesi di piccole oscillazioni, perciò:

(6)

Il secondo termine al secondo membro della (4) può essere a sua volta essere riscritto come:

Applicando la proprietà distributiva prodotto scalare rispetto alla somma vettoriale si ottiene:

(7)

Il primo termine al secondo membro è trascurabile poiché H₀ è uniforme, il secondo è nullo per l’ipotesi di piccole oscillazioni per cui:

(8)

Sostituendo (4), (6) e (8) nella (3) privata del termine convettivo si ha:

(9)

essendo H₀=H₀e_k la (9) diviene:

(10)

essendo entrambi i campi vettoriali h e u solenoidali si può facilmente concludere che

(11,a)

per la (11,a) il campo scalare f=p+mH₀×h è armonico; se ora supponiamo che il fluido si estenda fino all’infinito in tutte le possibili direzioni poiché la soluzione della (11,a) deve essere regolare in tutti i punti dello spazio allora l’unica soluzione fisicamente plausbile per la (11,a) è:

(11,b)

sostituendo la (11,b) in (10) si ottiene:

(11,c)

Il problema dinamico in esame è descritto anche dall’equazione di interazione del campo cinetico con il campo magnetico (vedi “Equazioni della Magnetofluidodinamica” www.ingegnerianucleare.net), la quale per effetto dell’ipotesi di conduttività elettrica molto elevata diventa:

(12)

applicando la decomposizione del campo magnetico H=H₀+h la (12) diventa:

(13)

Il secondo termine all’interno della parentesi nella (13) è trascurabile rispetto al primo per l’ipotesi di piccole oscillazioni, per cui la (13) diviene, viste anche le proprietà di H₀:

(14)

Si effettua ora il calcolo del termine al secondo membro della (14) partendo dal fatto che: uxH₀=nH₀e₁-uH₀e₂ per cui:

(15)

effettuando il calcolo del determinante della matrice al secondo membro della (15) si ottiene:

(16)

essendo H₀ uniforme la (16) si può scrivere:

(17)

per l’equazione di continuità si ha che:

la quale sostituita in (17) permette di scrivere:

(18)

cioè:

(19)

sostituendo la (19) in (14) si ha:

(20)

eliminando dalla (11,c) o dalla (20), facendo uso del teorema di Schwarz, la velocità u o il campo magnetico h si trova che tali campi vettoriali devono soddisfare la medesima equazione differenziale:

(21)

dove:

è la velocità di fase delle onde di Alfven. Bisogna tener presente dalla meccanica delle onde che la (21) è l’equazione di D’Alembert è tutti i campi vettoriali soluzione della (21) assumono comportamento ondulatorio ovvero la forma la forma matematica:

(22)

per cui è banale concludere che sotto le ipotesi del problema posto il campo di velocità ed il campo magnetico sono delle onde progressive monodimensionali. Dovendo essere Ñ×h=0 allora si avrà:

(23)

ed avendo a che fare con un fluido di estensione infinita si avrà Ñ×h₀=0 ed essendo (u₀,h₀)= (u₀,h₀)(x,y) la (23) diventa:

(24)

la (24), quindi, è soddisfatta se e solo se:

(25)